Toppunkt, bunnpunkt og balkongpunkt

Hvordan arbeide med begreper og matematisk språk? De siste to ukene har vi øvd til muntlig eksamen i R1 og S2. Det var litt av et sjokk for meg å se hvor vanskelig det er for selv de beste elevene å presentere matematikk muntlig.  Akkurat ordet balkongpunkt er kanskje mer sjarmerende en sjokkerende, men hva som er verre er at begreper som funksjon, likning, modell, uttrykk, mm. blandes friskt uten distinksjon. Ett konkret eksempel som overrasket meg var når en av mine beste R1-elever skulle fortelle om temaet “Likninger” foran klassen. Jeg så for meg noe om ekvivalens og implikasjon, noe om polynomlikninger, likninger med rot-tegn og likninger med rasjonale uttrykk, og så noe om generelle teknikker for likningsløsning, som faktorisering, substitusjon, og grafisk løsning. Istedenfor fikk vi høre et (veldig bra) foredrag om parametriske… likninger! På en måte kanskje ikke så urimelig, men for meg var det en tankevekker – hvilke andre begreper er det jeg bruker uten at elevene oppfatter hva jeg vil si?

Jeg må innrømme at jeg ikke har vært flink til å bruke muntlige fremføringer i matematikkfaget, og kanskje har jeg heller ikke hatt nok fokus på begrepsforståelse. Samtidig er jeg ikke sikker på hvordan man best kan arbeide med begreper og matematisk språk på en fornuftig måte, utover de vanlige tilbakemeldingene på skriftlige prøver og innleveringer. Noe jeg har lyst til å bruke i større grad enn i år er prøvespørsmål av typen “Forklar hva ordet sannsynlighetsmodell betyr”, eller “Forklar hva en likning er og hva det vil si at en likning er ekvivalent med en annen likning”. Andre enkle idéer er hyppigere bruk av muntlige fremføringer og gruppearbeid. Men er det nok?

Her er noen eksempler på definisjoner som jeg ønsker at elevene mine skal ha en forståelse for (definerte begreper i kursiv). Men er det fornuftig å be elevene pugge og diskutere slike definisjoner? Eller skaper det bare forvirring? Hvis du leser dette, kan du formulere disse definisjonene på en bedre måte? Ekstrem abstraksjon er nok ikke så bra, men samtidig syns jeg disse begrepene bør defineres noenlunde presist, spesielt for de sterkeste elevene.

Et uttrykk er symbolsekvens som kan regnes ut og blir et tall, hvis du erstatter alle bokstavsymboler med tall. Eksempel: Hverken 2x = 5 eller \sqrt{+} er uttrykk, men 2ax - \sin x er et uttrykk.

En funksjon er en regel (eller en “maskin”) som gir ut et tall hver gang du putter inn et tall. Eksempler: Sinus, kvadratrot, logaritme.

En operasjon er en regel som gir ut et tall hver gang du putter in 2 tall. Eksempler: Addisjon, multiplikasjon, binomialkoeffisient.

En påstand er noe som kan være enten sant eller falskt. Eksempel: 2x = 5 er en påstand, men 2ax - \sin x er ikke en påstand.

En likning er en påstand, uttrykt ved hjelp av et likhetstegn, om ett eller flere ukjente tall. Sagt på en litt annet måte: En likning er en påstand med et likhetstegn i mitten og et uttrykk på hver side av likhetstegnet.

Å løse en likning betyr å finne alle tall som gjør at påstanden stemmer. Disse tallene kalles løsningsmengden til likningen.

En formel er en likning der en av de ukjente står alene på ene siden av likhetstegnet.

En likhet er en likning som er sann uansett hvilke tall vi setter inn. Eksempel: logaritmereglene, kvadratsetningene.

Og så videre… men hvordan kommunisere dette i praksis??? Ingen av disse definisjonene er jo helt presise, men mer presisjon må betales i tungvinthet. I noen av disse definisjonene trenger vi egentlig litt mengdelære for å formulere ting på en god måte. I andre situasjoner er det ikke lett å gi en presis definisjon, hva er for eksempel forskjellen på en variabel og en parameter? Kan du gi en skriftlig presis forklaring av hva det egentlig vil si å “forenkle et uttrykk”?

Her er forresten Wikipedias definisjon av begrepet uttrykk, med litt av den etterfølgende forklaringen. En av mine elever nevnte hun syntes Wikipedias matte-artikler bruker et vanskelig språk.

In mathematics, an expression is a finite combination of symbols that is well-formed according to rules that depend on the context. In algebra an expression may be used to designate a value, which might depend on values assigned to variables occurring in the expression; the determination of this value depends on the semantics attached to the symbols of the expression. These semantic rules may declare that certain expressions do not designate any value; such expressions are said to have an undefined value, but they are well-formed expressions nonetheless. In general the meaning of expressions is not limited to designating values; for instance, an expression might designate a condition, or an equation that is to be solved, or it can be viewed as an object in its own right that can be manipulated according to certain rules.

Advertisements

One response to “Toppunkt, bunnpunkt og balkongpunkt

  1. Jeg opplevde i år en veldig rar motsetning. Elevene i en klasse har vært vanskelig å få i tale i timene. Jeg mener selv jeg har gitt mulighet for dialog og muntlige diskusjoner i faget, men ingen svarer, eller bidrar. Vi avsluttet året med en åpen evaluering (skriftlig), og elevene etterlyser altså mye mer muntlig trening. Er det bare presentasjon foran klassen under tvang og vurderingspress som teller som muntlig trening i deres hoder? Hvorfor må alt motiveres med en karakter for at det skal legges innsats ned i det? Det er veldig frustrerende som lærer å ikke få i gang faglige samtaler i timene, men dialog krever som kjent to parter. Når den ene parten ikke vil åpne munnen før vedkommende vet at han/hun har helt riktig svar, blir det vanskelig!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s