Category Archives: Matematikkdidaktikk

Om leksegrupper og læringstrykk

Noe vi kanskje skal bruke på skolen neste år, ihvertfall i 1P/1T, er leksegrupper. Modellen for disse gruppene er utviklet ved Bergens Handelsgymnasium. Her er en introduksjon til slike grupper (scannet med iPhone, ikke særlig god kvalitet dessverre): LeksegrupperScan2013

Advertisements

En liten bok om Vurdering for læring i matematikkfaget

Det finnes mange generelle bøker og artikler om Vurdering for læring. En bok som fokuserer spesifikt på matematikk er Hodgen and Wiliam: Mathematics inside the black box (ca. 40 sider). Her er et kort sammendrag av denne boken, mest i form av stikkord. Dette er dessverre på svensk, fordi jeg kom over en svensk oversettelse (i pdf-format, hvis noen er interessert). Vet ikke om boken er oversatt til norsk, men den kan kjøpes på engelsk her. Jeg syntes selv denne boken var veldig interessant, og disse korte notatane gir ikke full dekning av alt innhold.

——

Kort sammendrag av hovedpoeng:

Principer för lärande

  1. Börja där eleven befinner sig. Koppla nya kunskaper till gamla.

  2. Eleverna måste själva vara aktiva i lärandeprocessen

  3. Eleverna måste samtala om sina uppfattningar i matematik

  4. Eleverna måste förstå syftet med det som ska läras. De måste också förstå kunskapskrav och egna kunskaper för att själva kunna ta ansvar för och styra sitt eget lärande. (Metakognition)

  5. Feedback ska visa eleven hur man förbättrar sig.

Bedömning av person sänker resultaten, bland annat leder det till att högpresterande elever undviker svårare uppgifter för att slippa en negativ bedömning.

Fokusera inte bara på vad som ska förbättras men också hur eleven kan förbättra det. Detta ställer stora krav till lärarens ämneskunskaper.

Tre typer av feedback nödvändiga för formativ bedömning: elev till lärare, lärare till elev, och elev till elev

En central aspekt av Bedömning för lärande är att samtala om matematik. Viktigt att eleverna får uttrycka egna tankar, diskutera och argumentera. Att implementera detta är komplext. Behöver strategier och aktiviteter som uppmanar till diskussion och inkluderar alla elever.

Exempel på uppgifter som kan skapa diskussion i klassrummet: Jämför 0.33 och 1/3, fyra alternativ. Kvadratroten av 0.4. Division med bråk. Ekvationer och geometriproblem med ingen eller flera lösningar, också ekvationssystem med parallella linjer. Verklighetsanknytning och bedömning av om svaret är rimligt. Sortera funktioner i olika grupper utifrån gemensamma egenskaper (eleverna hittar själva olika typer av egenskaper, och kan kanske upptäcka olika typer av symmetri, antal vändpunkter, etc).

Jämföra och diskutera olika lösningsmetoder.

Om x+y=2, vilka värden kan xy anta?

Läraren kan skriva något fel på tavlan, t ex bevisa att 1=2.

Ge elever flera uträkningar varav några är fel. Be dem hitta och analysera felen.

Referens till Hart 1981 för forskning på vanliga matematiska missuppfattningar.

Viktigt att analysera elevernas misstag. Varför blev det fel? Ofta lär sig eleverna mer av misstag än av korrekta svar (Piaget – kognitiva konflikter).

Lite om hur summativa prov kan användas formativt:

  • Be eleverna identifiera lätta resp. svåra frågor. Diskussion om vad det är som gör en uppgift svår eller lätt.

  • Vanligt prov med individuell inlämning, följt av parvis eller gruppvis arbete med de uppgifter som eleverna tyckte var svåra. Sammanställning/diskussion av de bästa lösningarna.

  • Ha ett (litet?) prov när klassen bara kommit halvvägs genom ett tema.

  • Ge eleverna ett prov och be dem (parvis) konstruera ett svårare prov. Eleverna måste bifoga lösningar och förklara varför deras prov är svårare.

Viktigt: en aktivitet som passar en elev eller en elevgrupp passar kanske inte alla! Väldigt bra om lärare samarbetar för att utveckla idéer lokalt (Japan: Lesson Study), och diskuterar hur en viss uppgift kan vara formativ.

Uppmuntra eleverna att prata matematik genom att fråga och lyssna! Men hur göra för att de andra eleverna ska lyssna på och förstå den som pratar? (I mitt eget klassrum pratar ju eleverna till läraren, inte till varandra. Lättare i små basgrupper?)

Exempel på typer av frågeställningar (ref till Watson och Mason 1998 för mer om vilka frågor man kan ställa):

-Berätta om problemet. Vad vet du om det? Sett liknande förut? Vilka verktyg tror du är användbara här? Har du nog information?

– Vad är lika/annorlunda?

– Har du ett förslag/en hypotes/en gissning?

– Vad skulle hända om…/ Är det alltid sant att…/Har du hittat alla lösningar?

– Hur vet du att…/kan du bevisa…/kan du bekräfta…

Viktigt att lyssna på elevernas svar, men inte för att värdera.

Ett centralt tema är strategier för att involvera alla elever i klassrumsdiskussioner. Olika tips och tekniker tas upp. Här är betoningen på att alla ska vara med, och gärna svara fel utan att bli kritiserade för det. (Kan detta verkligen vara bra?)

Feedback: inte poäng eller betyg, bara kommentarer. Låt eleverna upptäcka egna misstag och reflektera muntligt och skriftligt över dessa.

Lite om självbedömning och kamratbedömning…

Till slut: för att få detta att fungera behövs samarbete i ett lärarlag! Inte lätt att förändra ensam!

Toppunkt, bunnpunkt og balkongpunkt

Hvordan arbeide med begreper og matematisk språk? De siste to ukene har vi øvd til muntlig eksamen i R1 og S2. Det var litt av et sjokk for meg å se hvor vanskelig det er for selv de beste elevene å presentere matematikk muntlig.  Akkurat ordet balkongpunkt er kanskje mer sjarmerende en sjokkerende, men hva som er verre er at begreper som funksjon, likning, modell, uttrykk, mm. blandes friskt uten distinksjon. Ett konkret eksempel som overrasket meg var når en av mine beste R1-elever skulle fortelle om temaet “Likninger” foran klassen. Jeg så for meg noe om ekvivalens og implikasjon, noe om polynomlikninger, likninger med rot-tegn og likninger med rasjonale uttrykk, og så noe om generelle teknikker for likningsløsning, som faktorisering, substitusjon, og grafisk løsning. Istedenfor fikk vi høre et (veldig bra) foredrag om parametriske… likninger! På en måte kanskje ikke så urimelig, men for meg var det en tankevekker – hvilke andre begreper er det jeg bruker uten at elevene oppfatter hva jeg vil si?

Jeg må innrømme at jeg ikke har vært flink til å bruke muntlige fremføringer i matematikkfaget, og kanskje har jeg heller ikke hatt nok fokus på begrepsforståelse. Samtidig er jeg ikke sikker på hvordan man best kan arbeide med begreper og matematisk språk på en fornuftig måte, utover de vanlige tilbakemeldingene på skriftlige prøver og innleveringer. Noe jeg har lyst til å bruke i større grad enn i år er prøvespørsmål av typen “Forklar hva ordet sannsynlighetsmodell betyr”, eller “Forklar hva en likning er og hva det vil si at en likning er ekvivalent med en annen likning”. Andre enkle idéer er hyppigere bruk av muntlige fremføringer og gruppearbeid. Men er det nok?

Her er noen eksempler på definisjoner som jeg ønsker at elevene mine skal ha en forståelse for (definerte begreper i kursiv). Men er det fornuftig å be elevene pugge og diskutere slike definisjoner? Eller skaper det bare forvirring? Hvis du leser dette, kan du formulere disse definisjonene på en bedre måte? Ekstrem abstraksjon er nok ikke så bra, men samtidig syns jeg disse begrepene bør defineres noenlunde presist, spesielt for de sterkeste elevene.

Et uttrykk er symbolsekvens som kan regnes ut og blir et tall, hvis du erstatter alle bokstavsymboler med tall. Eksempel: Hverken 2x = 5 eller \sqrt{+} er uttrykk, men 2ax - \sin x er et uttrykk.

En funksjon er en regel (eller en “maskin”) som gir ut et tall hver gang du putter inn et tall. Eksempler: Sinus, kvadratrot, logaritme.

En operasjon er en regel som gir ut et tall hver gang du putter in 2 tall. Eksempler: Addisjon, multiplikasjon, binomialkoeffisient.

En påstand er noe som kan være enten sant eller falskt. Eksempel: 2x = 5 er en påstand, men 2ax - \sin x er ikke en påstand.

En likning er en påstand, uttrykt ved hjelp av et likhetstegn, om ett eller flere ukjente tall. Sagt på en litt annet måte: En likning er en påstand med et likhetstegn i mitten og et uttrykk på hver side av likhetstegnet.

Å løse en likning betyr å finne alle tall som gjør at påstanden stemmer. Disse tallene kalles løsningsmengden til likningen.

En formel er en likning der en av de ukjente står alene på ene siden av likhetstegnet.

En likhet er en likning som er sann uansett hvilke tall vi setter inn. Eksempel: logaritmereglene, kvadratsetningene.

Og så videre… men hvordan kommunisere dette i praksis??? Ingen av disse definisjonene er jo helt presise, men mer presisjon må betales i tungvinthet. I noen av disse definisjonene trenger vi egentlig litt mengdelære for å formulere ting på en god måte. I andre situasjoner er det ikke lett å gi en presis definisjon, hva er for eksempel forskjellen på en variabel og en parameter? Kan du gi en skriftlig presis forklaring av hva det egentlig vil si å “forenkle et uttrykk”?

Her er forresten Wikipedias definisjon av begrepet uttrykk, med litt av den etterfølgende forklaringen. En av mine elever nevnte hun syntes Wikipedias matte-artikler bruker et vanskelig språk.

In mathematics, an expression is a finite combination of symbols that is well-formed according to rules that depend on the context. In algebra an expression may be used to designate a value, which might depend on values assigned to variables occurring in the expression; the determination of this value depends on the semantics attached to the symbols of the expression. These semantic rules may declare that certain expressions do not designate any value; such expressions are said to have an undefined value, but they are well-formed expressions nonetheless. In general the meaning of expressions is not limited to designating values; for instance, an expression might designate a condition, or an equation that is to be solved, or it can be viewed as an object in its own right that can be manipulated according to certain rules.