Tag Archives: matematikk

Om leksegrupper og læringstrykk

Noe vi kanskje skal bruke på skolen neste år, ihvertfall i 1P/1T, er leksegrupper. Modellen for disse gruppene er utviklet ved Bergens Handelsgymnasium. Her er en introduksjon til slike grupper (scannet med iPhone, ikke særlig god kvalitet dessverre): LeksegrupperScan2013

Advertisements

En liten bok om Vurdering for læring i matematikkfaget

Det finnes mange generelle bøker og artikler om Vurdering for læring. En bok som fokuserer spesifikt på matematikk er Hodgen and Wiliam: Mathematics inside the black box (ca. 40 sider). Her er et kort sammendrag av denne boken, mest i form av stikkord. Dette er dessverre på svensk, fordi jeg kom over en svensk oversettelse (i pdf-format, hvis noen er interessert). Vet ikke om boken er oversatt til norsk, men den kan kjøpes på engelsk her. Jeg syntes selv denne boken var veldig interessant, og disse korte notatane gir ikke full dekning av alt innhold.

——

Kort sammendrag av hovedpoeng:

Principer för lärande

  1. Börja där eleven befinner sig. Koppla nya kunskaper till gamla.

  2. Eleverna måste själva vara aktiva i lärandeprocessen

  3. Eleverna måste samtala om sina uppfattningar i matematik

  4. Eleverna måste förstå syftet med det som ska läras. De måste också förstå kunskapskrav och egna kunskaper för att själva kunna ta ansvar för och styra sitt eget lärande. (Metakognition)

  5. Feedback ska visa eleven hur man förbättrar sig.

Bedömning av person sänker resultaten, bland annat leder det till att högpresterande elever undviker svårare uppgifter för att slippa en negativ bedömning.

Fokusera inte bara på vad som ska förbättras men också hur eleven kan förbättra det. Detta ställer stora krav till lärarens ämneskunskaper.

Tre typer av feedback nödvändiga för formativ bedömning: elev till lärare, lärare till elev, och elev till elev

En central aspekt av Bedömning för lärande är att samtala om matematik. Viktigt att eleverna får uttrycka egna tankar, diskutera och argumentera. Att implementera detta är komplext. Behöver strategier och aktiviteter som uppmanar till diskussion och inkluderar alla elever.

Exempel på uppgifter som kan skapa diskussion i klassrummet: Jämför 0.33 och 1/3, fyra alternativ. Kvadratroten av 0.4. Division med bråk. Ekvationer och geometriproblem med ingen eller flera lösningar, också ekvationssystem med parallella linjer. Verklighetsanknytning och bedömning av om svaret är rimligt. Sortera funktioner i olika grupper utifrån gemensamma egenskaper (eleverna hittar själva olika typer av egenskaper, och kan kanske upptäcka olika typer av symmetri, antal vändpunkter, etc).

Jämföra och diskutera olika lösningsmetoder.

Om x+y=2, vilka värden kan xy anta?

Läraren kan skriva något fel på tavlan, t ex bevisa att 1=2.

Ge elever flera uträkningar varav några är fel. Be dem hitta och analysera felen.

Referens till Hart 1981 för forskning på vanliga matematiska missuppfattningar.

Viktigt att analysera elevernas misstag. Varför blev det fel? Ofta lär sig eleverna mer av misstag än av korrekta svar (Piaget – kognitiva konflikter).

Lite om hur summativa prov kan användas formativt:

  • Be eleverna identifiera lätta resp. svåra frågor. Diskussion om vad det är som gör en uppgift svår eller lätt.

  • Vanligt prov med individuell inlämning, följt av parvis eller gruppvis arbete med de uppgifter som eleverna tyckte var svåra. Sammanställning/diskussion av de bästa lösningarna.

  • Ha ett (litet?) prov när klassen bara kommit halvvägs genom ett tema.

  • Ge eleverna ett prov och be dem (parvis) konstruera ett svårare prov. Eleverna måste bifoga lösningar och förklara varför deras prov är svårare.

Viktigt: en aktivitet som passar en elev eller en elevgrupp passar kanske inte alla! Väldigt bra om lärare samarbetar för att utveckla idéer lokalt (Japan: Lesson Study), och diskuterar hur en viss uppgift kan vara formativ.

Uppmuntra eleverna att prata matematik genom att fråga och lyssna! Men hur göra för att de andra eleverna ska lyssna på och förstå den som pratar? (I mitt eget klassrum pratar ju eleverna till läraren, inte till varandra. Lättare i små basgrupper?)

Exempel på typer av frågeställningar (ref till Watson och Mason 1998 för mer om vilka frågor man kan ställa):

-Berätta om problemet. Vad vet du om det? Sett liknande förut? Vilka verktyg tror du är användbara här? Har du nog information?

– Vad är lika/annorlunda?

– Har du ett förslag/en hypotes/en gissning?

– Vad skulle hända om…/ Är det alltid sant att…/Har du hittat alla lösningar?

– Hur vet du att…/kan du bevisa…/kan du bekräfta…

Viktigt att lyssna på elevernas svar, men inte för att värdera.

Ett centralt tema är strategier för att involvera alla elever i klassrumsdiskussioner. Olika tips och tekniker tas upp. Här är betoningen på att alla ska vara med, och gärna svara fel utan att bli kritiserade för det. (Kan detta verkligen vara bra?)

Feedback: inte poäng eller betyg, bara kommentarer. Låt eleverna upptäcka egna misstag och reflektera muntligt och skriftligt över dessa.

Lite om självbedömning och kamratbedömning…

Till slut: för att få detta att fungera behövs samarbete i ett lärarlag! Inte lätt att förändra ensam!

Toppunkt, bunnpunkt og balkongpunkt

Hvordan arbeide med begreper og matematisk språk? De siste to ukene har vi øvd til muntlig eksamen i R1 og S2. Det var litt av et sjokk for meg å se hvor vanskelig det er for selv de beste elevene å presentere matematikk muntlig.  Akkurat ordet balkongpunkt er kanskje mer sjarmerende en sjokkerende, men hva som er verre er at begreper som funksjon, likning, modell, uttrykk, mm. blandes friskt uten distinksjon. Ett konkret eksempel som overrasket meg var når en av mine beste R1-elever skulle fortelle om temaet “Likninger” foran klassen. Jeg så for meg noe om ekvivalens og implikasjon, noe om polynomlikninger, likninger med rot-tegn og likninger med rasjonale uttrykk, og så noe om generelle teknikker for likningsløsning, som faktorisering, substitusjon, og grafisk løsning. Istedenfor fikk vi høre et (veldig bra) foredrag om parametriske… likninger! På en måte kanskje ikke så urimelig, men for meg var det en tankevekker – hvilke andre begreper er det jeg bruker uten at elevene oppfatter hva jeg vil si?

Jeg må innrømme at jeg ikke har vært flink til å bruke muntlige fremføringer i matematikkfaget, og kanskje har jeg heller ikke hatt nok fokus på begrepsforståelse. Samtidig er jeg ikke sikker på hvordan man best kan arbeide med begreper og matematisk språk på en fornuftig måte, utover de vanlige tilbakemeldingene på skriftlige prøver og innleveringer. Noe jeg har lyst til å bruke i større grad enn i år er prøvespørsmål av typen “Forklar hva ordet sannsynlighetsmodell betyr”, eller “Forklar hva en likning er og hva det vil si at en likning er ekvivalent med en annen likning”. Andre enkle idéer er hyppigere bruk av muntlige fremføringer og gruppearbeid. Men er det nok?

Her er noen eksempler på definisjoner som jeg ønsker at elevene mine skal ha en forståelse for (definerte begreper i kursiv). Men er det fornuftig å be elevene pugge og diskutere slike definisjoner? Eller skaper det bare forvirring? Hvis du leser dette, kan du formulere disse definisjonene på en bedre måte? Ekstrem abstraksjon er nok ikke så bra, men samtidig syns jeg disse begrepene bør defineres noenlunde presist, spesielt for de sterkeste elevene.

Et uttrykk er symbolsekvens som kan regnes ut og blir et tall, hvis du erstatter alle bokstavsymboler med tall. Eksempel: Hverken 2x = 5 eller \sqrt{+} er uttrykk, men 2ax - \sin x er et uttrykk.

En funksjon er en regel (eller en “maskin”) som gir ut et tall hver gang du putter inn et tall. Eksempler: Sinus, kvadratrot, logaritme.

En operasjon er en regel som gir ut et tall hver gang du putter in 2 tall. Eksempler: Addisjon, multiplikasjon, binomialkoeffisient.

En påstand er noe som kan være enten sant eller falskt. Eksempel: 2x = 5 er en påstand, men 2ax - \sin x er ikke en påstand.

En likning er en påstand, uttrykt ved hjelp av et likhetstegn, om ett eller flere ukjente tall. Sagt på en litt annet måte: En likning er en påstand med et likhetstegn i mitten og et uttrykk på hver side av likhetstegnet.

Å løse en likning betyr å finne alle tall som gjør at påstanden stemmer. Disse tallene kalles løsningsmengden til likningen.

En formel er en likning der en av de ukjente står alene på ene siden av likhetstegnet.

En likhet er en likning som er sann uansett hvilke tall vi setter inn. Eksempel: logaritmereglene, kvadratsetningene.

Og så videre… men hvordan kommunisere dette i praksis??? Ingen av disse definisjonene er jo helt presise, men mer presisjon må betales i tungvinthet. I noen av disse definisjonene trenger vi egentlig litt mengdelære for å formulere ting på en god måte. I andre situasjoner er det ikke lett å gi en presis definisjon, hva er for eksempel forskjellen på en variabel og en parameter? Kan du gi en skriftlig presis forklaring av hva det egentlig vil si å “forenkle et uttrykk”?

Her er forresten Wikipedias definisjon av begrepet uttrykk, med litt av den etterfølgende forklaringen. En av mine elever nevnte hun syntes Wikipedias matte-artikler bruker et vanskelig språk.

In mathematics, an expression is a finite combination of symbols that is well-formed according to rules that depend on the context. In algebra an expression may be used to designate a value, which might depend on values assigned to variables occurring in the expression; the determination of this value depends on the semantics attached to the symbols of the expression. These semantic rules may declare that certain expressions do not designate any value; such expressions are said to have an undefined value, but they are well-formed expressions nonetheless. In general the meaning of expressions is not limited to designating values; for instance, an expression might designate a condition, or an equation that is to be solved, or it can be viewed as an object in its own right that can be manipulated according to certain rules.

Idéer om matematikk- og realfagsundervisning i 2030?

The Royal Society (Storbritannia) har startet et prosjekt med målet å utarbeide en visjon for hvordan matematikk- og realfagsundervisning kan se ut i år 2030. De har blant annet et åpent diskusjonsforum der hvem som helst kan bidra med små eller store idéer og tanker. Fokus her er jo på Storbritannia, men resultater fra dette prosjektet kan sikkert være spennende lesestoff uansett!

Siterer fra denne siden:

The Royal Society has launched an ambitious project to set out a vision for how the UK can develop an inspiring and high performing science and mathematics education system over the next 15—20 years.

The work is led by the Vision Committee which includes scientists, education experts, teachers and former politicians.  They have developed their ideas and are now consulting widely on what others – experts and non-experts alike – think of their vision and how it can be developed.

“We want an inspirational education system that will deliver both scientifically and technologically informed, engaged citizens and appropriate numbers of qualified people who wish to take up science and technology-based careers.”
Sir Martin Taylor FRS, Chair of the Vision Committee

The committee is reviewing how the UK can create a system which provides all young people with inspirational and relevant science and mathematics education by 2030. It is asking questions about our educational institutions, teaching workforce, curriculum and assessment and accountability mechanisms.

We’d like to hear your views on what the UK’s science and mathematics education system should look like in 15-20 years, and how this can be achieved.

Deltakere søkes til storskala utprøving av virtuell matematikkskole

Senter for IKT i utdanningen starter norsk “skole-MOOC” i matematikk, med fokus både på elever som trenger ekstra støtte og på elever som søker ekstra utfordringer. Målgruppen for det første pilotprosjektet er de elevene som starter 10. trinn høsten 2013 og som utmerker seg ved å være spesielt sterke i matematikk. Dette er spennende!

 

 

Notater fra ActivBoard-kurs

Skolen har kjøpt inn ActivBoard til ganske mange klasserom, og idag var alle lærere på kurs med Lars Persen. Her er mine notater (mest stikkord) samlet på én plass, slik at jeg kan finne dem igjen. En del av dette ble sagt av Lars, annet fant jeg på nettet eller fikk forklart av andre.

Basic skills

  • Kalibrere (via ActivManager)
  • Få lyden til å fungere med en Mac: Gå inn i SystemPreferences –> Sound –> Output, velg ActivBoard. Dette går automatisk på PC.
  • Ifølge kursleder må en Mac skrus på etter tavlen. Men dette virket ikke nødvendig når jeg prøvde det ut selv.
  • Skape en ny flipchart. Skifte rekkefølge på arkene.
  • ActivBoard-skjermen er 16:9, og innstillingen på maskinen bør tilpasses dette.
  • Høyreklikk: Hold inn knappen på pennen.
  • Du kan også høyreklikke ved å holde fingeren en plass ca ett sekund, men da kan du ikke “sveve” over et ikon for å se forklaringer – til dette må du bruke penn og holde den et lite stykke fra tavlen.
  • Innsetting av ekstra ark mitt i en live-presentasjon, for å ta opp ting som kommer opp i klasserommet.
  • Trykk “resirkuler” for å nullstille arket.

Flere skills

  • Knapper og spesielle funksjoner som er synlige – dette kan endres ved innstillinger i din egen profil.
  • Eksportere flipchart som pdf.
  • Bruke eget ressursbibliotek til å lagre bilder m.m. “When designing your flipcharts, save yourself oodles of time by remembering to save your home‐made resources in your personal resources. Things such as magnifiers, erasers, reset buttons and buzzers, can be quite fiddly to make, and time consuming, but lifting out of your personal resources and re‐using, makes life so much easier.”
  • Bruke “world area” – dvs området utenfor selve flip chart. Her kan du legge ting som du “drar inn” ved behov i løpet av presentasjonen. F.eks. formler, ferdige figurer, strategier.
  • Sett inn –> lenke –> webområde. Disse linkene kan kobles til eksisterende objekt i flipcharten. Men fungerer lenkene fortsatt hvis du eksporterer til pdf?
  • En presentasjon kan dekkes av en rullegardin, fra hvilken som helst side på skjermen. Du har også en spotlight/kikkert som kan flyttes rundt.
  • Eksempel: Europeiske byer med sprett-tilbake funksjon.
  • PageZoom tool? Hva er dette?
  • Det finnes et praktisk programtillegg til PowerPoint.
  • Kan legge et bilde over et annet, og kan “dra i solen” for å få det bakerste bildet til å gradvis komme fram. Velg “kortet”, så omsorter, for å få en del begreper gjemt bak en rute.
  • Kan gruppere og oppheve gruppering av objekter. Hva med å klippe i stykker et objekt?
  • Håndskriftigjenkjenning, ser ut til å fungere veldig bra og på alle språk (kanskje ikke arabisk).
  • Mulig å få opp et tastatur! For eksempel for innskriving i inntastingsfeltet i GeoGebra.
  • Innebygd nettleser. Hvordan fungerer den? Er dette beste måten å vise video på?
  • Fra innebygd nettleser skal du kunne dra både tekst og bilder direkte til din flipchart. Dette er også mulig fra Chrome, men ikke fra Explorer.
  • Duplisere eller “dra/kopi” (?) for å lage mange egg. Kanskje kan brukes for å illustrere hypergeometrisk sannsynlighetsmodell.

Matematikkundervisning

  • Skape rutenett for å tegne grafer i. Finnes sikkert en knapp for dette, men det kommer opp automatisk hvis du går på Help, og søker på Grid. Kursleder tegnet så egne koordinatakser ved hjelp av linjeverktøyet, men han hadde et triks for å få disse til å følge en linje i rutenettet.
  • Hva er beste måten å legge inn formler på? Det finnes en formeleditor lignende Word. Hva er den mest effektive måten å legge in LaTeX-formler? Kanskje via et web-verktøy som lager bilder av LaTeX?
  • Linjal, passer, gradskive, under Verktøy –> Matematikkverktøy. På disse verktøyene vises en vinkel, men denne går ikke i samme retning som i enhetssirkelen!
  • På en hvilken som helst figur kan du utføre rotasjon, translasjon, og “stretch” med hendene, men tilsynelatende ikke “shear” (dvs. for eksempel deformere en rektangel til et parallellogram med samme areal).
  • Utforske litt på Youtube – hva finnes av matematikkvideo som fungerer i klasserommet? Noe om spennende anvendelser av matte og spennende yrker?
  • Kan jeg lage en graf i GeoGebra, og dra for eksempel tangenten med fingeren? Er det mulig å lage til en liten skiløper som står på ski langs med grafen og har det lett/vanskelig som funksjon av vekstfarten?
  • Utforsk masse muligheter med GeoGebra og ActivBoard!

Flipped classroom

  • Kameraverktøy
  • Opptak av video under Verktøy –> Flere verktøy –> Skjermopptak. Kan brukes med eller uten mikrofon
  • Nøkkel til godt lyd er å ha mikrofon nært munnen, enten høyt opp på skjorten eller innebygd i en øretelefon.
  • Mikrofontips: Se bilde.
  • Heng opp noe noen få meter bort (f.eks. et teppe) for å forbedre lydbildet.

Andre undervisningsidéer

  • Det ser ut som om det er mulig å importere ting fra Smartboard-format.
  • Integrere internettressurser i undervisningen? F.eks. Youtube. Vis elevene hva som finnes på NDLA, Khan Academy, etc.

Elev-interaksjon

  • Elever kan få komme fram å gjøre ting på tavlen. F.eks. i en dynamisk tangent som kan forflyttes langs en graf, kan eleven selv få “oppdage” at største og minste vekstfart finner vi i et vendepunkt.
  • En elevgruppe kan komme fram, som til en stasjon, og jobbe med en problemstilling ved tavlen. F eks en muntlig/problemløsende prøve i gruppe.
  • Spennende muligheter for elevfremføring?
  • ActiVote? ExpressPoll? Dette ser ut til å være et respons-system likt “Clickers”. Må kjøpe inn ekstra dingser (klassesett) eller la elevene sitte med smartphone/PC.
  • En video om ExpressPoll (har ikke sett den selv)
  • ActivSlate?

Ressurser

  • Fikk intrykk av at fem ulike pdf-veiledninger skulle bli gjort tilgjengelig via Fronter/fellesområdet/skolens nettside.
  • Det skal finnes “tusenvis” av apper én eller annen plass. Kursleder viste NoteBoard, der du kan skape PostIt-lignende lapper med koblinger mellom, litt som en mindmap. Kanskje interessant i forhold til organisering av begreper og oversikt over fagområder. For eksempel de fire typene algebraoppgaver. Finnes det dedikerte matematikk-apper til ActivBoard bortsett fra vanlige matematikkprogrammer som GeoGebra?
  • Support og FAQs på norsk på aktivundervisning.no. Her finnes også en del undervisningsopplegg, men kanskje ikke så mye for videregående, og kanskje heller ikke så mye spennende matte. Men det kommer mere med tiden! Mulig å følge Aktiv Undervisning på facebook.
  • Masse ressurser også på Promethean Planet. Første inntrykket er at det meste er for barnetrinnet, men her er det sikkert mye å utforske!
  • Sammenlikning mellom SmartBoard og ActivBoard?

Ubesvarte spørsmål

  • Hvordan påvirker det elevenes læring hvis de slutter å ta egne notater?
  • Kommer skolen til å sette av tid for å eksperimentere og la oss dele ting med hverandre?
  • Er det mulig for elevene å få tilgang til software for å lage egne flipcharts?